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1、双曲线的简单几何性质（45分钟100分）一、选择题（每小题6分,共30分）1.设双曲线二化11的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为（）9A.-4B.-3C.2D.12. （2013昆明高二检测）设P是双曲线丛1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3-2y=0,Fl,FZ分别是双曲线的左、右焦点,若IPFj=5,则PF2=（）A.1或5B.1或9C.1D.93. （2012福建高考）已知双曲线1-丘1（a0）的右焦点为（3,0）,则该双曲线的离心率等于（）A.四B.C.?D.IAfa4. （2013新课标全国卷I）已知双曲线C:Ka0,b0）的离心率为好，则C的渐近线方程为（）A.y=；XBy=：
2、XC.y=D.y=x5 .双曲线x2-y2=l的右支上一点P（m,n）到直线y=x的距离为Vr,则m+n的值是（）A.-B.iC.-D.2，,二、填空题（每小题8分,共24分）6 .（2012江苏高考）在平面直角坐标系xy中,若双曲线二-4=1的离心率为5,则m的值为.7 .（2013洛阳高二检测）设双曲线:鲁1（a0,b0）的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为.8 .已知件尸2是双曲线El(aO,bO)的两焦点，以线段FE为边作正三角形MF1F2,若边MFl的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9 .已知圆M:x2+(y-5)2=9,
3、双曲线G与椭圆C:=+=l有相同的焦点,它的两条渐近502S线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.10 .已知双曲线的渐近线方程为y=2,焦距为10,求双曲线的标准方程,并求双曲线的离心率.IL(能力挑战题)设F/2分别为双曲线的左、右焦点,A,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证：以A人为直径的圆既与以PFz为直径的圆外切，又与以PFl为直径的圆内切.答案解析1 .【解析】选A.二方程表示双曲线，.a0)的离心率为2,a12aa=()A.2B.3C.?D.1【解析】选B.由条件知里亘=2,解得a=3.4 .【解析】选C.因为e二屋正，所以M=W,又因为c2=a2+
4、b2,所以立式=W,得a2a4a4=-,所以渐近线方程为y=L.a2425 .【解题指南】分别利用点到直线的距离公式和点在双曲线上建立方程，通过解两方程求m+n的值.【解析】选B.由条件可知巴ULe即mn=2.2V(m,n)在右支上，.mn,m-n0,故m-n=2.又Y点P在双曲线上，/.m2-2=1(m+n)(m-n)=1,【举一反三】本题中，若点P(m,n)在左支上，结果会怎样？【解析】选A.Y点P在左支上，.mn即m-nO,bO),则G的渐近线方程为y=-x,a2ha即bxay=O,JLa2+b2=25.圆M的圆心为(0,5),半径为r=3.JL=3=a=3,b=4.双曲线G的方程为-丛
5、1.Q1610.【解题指南】由渐近线方程可得a与b的关系，再利用c2=a2+b?可求a,b的值,但由于焦点的位置不明确，因此应分情况讨论.【解析】方法一：当焦点在X轴上时，设所求双曲线的方程为W-Z=I(aO,bO).a*h2由渐近线方程为y=x得a)又2c=10,c2=a2+b得a2=20,b2=5,双曲线的标准方程为E-U=1,这时离心率e;同理，当焦点在V轴上时，可得20S2双曲线的标准方程为匚-屋1,这时离心率e5.S2flJq.所求双曲线的标准方程为片上或e-E=I,相应的离心率为由,6.2flSS202方法二：由渐近线方程为y=l,可设双曲线方程为二-y2二人(0),1A.即上一丛
6、1.由a?+b2=c2得|4入I+1入|=25,A工/.|入|=5,.入二5.所求双曲线的标准方程为=1或U-E=I,相应的离心率为由,6.20S5202【拓展提升】求双曲线标准方程的几种设法与双曲线(a0,b0)有共同渐近线aab入(入手0)2b双曲线的渐近线方程是y=-xaWE入(入Wo)ah与双曲线三-岸1(aO,bO)共焦点ah2F(-b2ka2)a-lh2k过两个已知点mx2+ny2=1(mnb0)有相同焦点言上门EkQ2)11.【解题指南】设N,M分别是PF,PFz的中点，只要证明IOMI=a+PF2,并且0N=lPF1-a即可.注意点P在双曲线的右支上F,F2是双曲线的两个焦点，满足了运用定义的条件特征，故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图，以AAz为直径的圆的圆心为0,半径为a,令M,N分别是PF2,PFI的中点，由三角形中位线的性质，得IoMl=IPF.又根据双曲线的定义，得PF=2a+PFz,从而有IOMlT(2a+PFz)=a+21PFzI.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以AAz为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理，得IONI二PF2=L(PF-2a)=nPF-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以AA2为直径的圆与以PFl为直径的圆内切.关闭返回原板块
