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1、一一.空间空间“角度角度”问题问题1.1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角已知已知a,b为两异面直线，为两异面直线，A、C与与B、D分别分别是是a,b上的任意两点，设两异面直线所成的上的任意两点，设两异面直线所成的角为角为，则，则cos.AC BDAC BD 2.求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为，与 的夹角为 ，则为 的余角或 的补角的余角。则有 aucoss.ina ua u u例：已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值。注意：最后的结果，二面注意：最后的结果，二面
2、角的余弦值正负可看二面角的余弦值正负可看二面角的大小，若是锐角取正，角的大小，若是锐角取正，若是钝角取负。若是钝角取负。Lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 mn，lnm,nm,3、求二面角、求二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 ,则则l(0)cos.m nm n 法向量法法向量法例、过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小。例：如图，在正三棱柱例：如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，中，D，E分别是棱分别是棱BC
3、、CC1的中点，的中点，12,AB AA（）证明：）证明：（）求二面角）求二面角 的大小的大小.1BEAB1BABD二二.向量法求距离向量法求距离1.点到线的距离点到线的距离 例：例：正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为a，E是是BB1的中点，则的中点，则E到到AD1的距离是的距离是()A a B a C a D a 332625423D2.点到平面距离的向量公式点到平面距离的向量公式若点若点P为平面外一点，点为平面外一点，点M为平面内任一点，平面为平面内任一点，平面的法向量为的法向量为 ，则，则P到平面的距离就等于在法向到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值量方向上的
4、投影的绝对值.n例、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，求O到平面ABC1D1的距离.练习练习3.直线与平面之间的距离直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即4.两平行平面之间的距离两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.nM Pdn .nM Pdn 5.异面直线间的距离练习练习 如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，中，D，E分别是棱分别是棱BC、CC1的中点，的中点，12,ABAA求异面直线求异面直线AB1与与BE的距离。的距离。3 05
