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1、2-312.1排列（3课时）课标要求：通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题。教材分析:分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要宜接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是
2、简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困感，分不清到底与顺序有无关系学生分析:学生刚刚学过分类计数原理和分步计数原理；并且原来高一学习必修三概率时已经初步掌握用列举法计算排列的个数问题；，对于简单的，数字少的排列组合，学生是没有问题的，但是到复杂一点的，学生就容易出错，学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强,要么漏算要么重复算，分类讨论不清，解题书写不规范，必耍的文字缺少。教学目标I.知识与技能（1）了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法；（2）体会化归的数学思想，并能运用排列数公式进行计算；（3）运用所学的排列数公式，解决简单的排列实际问题.2.过程与方法（1）在教师指导下，尝试从实际
3、例子推导出排列数公式；（2）认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主耍矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，（3）注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。3.情感态度与价值观（1）用联系的观点看问题；（2）认识事物在一定条件下的相互转化；（3）解决问题能抓住问题的本质。通过设置丰富的问题情境，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望。教学重点:排列、排列数的概念.教学难点:排列数公式的推导一、问题情景K问题11从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方
4、法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。K问题2F.从,4c,这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4x3*2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二
5、、数学构建1.排列的概念：从个不同元素中，任取，（m）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出小个元素的一个排列.说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同2.排列数的定义：从个不同元素中，任取，（，4）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出1元素的排列数，用符号表示同元 列 有排具体注意区别排列和排列数的不同：一个排列是指：从个不素中，任取加个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排数是指从个不同元素中，任取加nn）个元素的所列的个数，是一个数所以符号4只表示排列数，而不
6、表示的排列。3.排列数公式及其推导：由%的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素6，2.4中任取2个元素去填空，一个空位填一个元广广门.门素,每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以TiL由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是田心5排列数6由分步计数原理完成上述填空共有S-D种填法，.6=（-l）由此，求可可以按依次填3个空位来考虑，.A：=（-l）5-2）,求M以按依次填用个空位来考虑7=（-1）（-2）（T+D,得排列数公式如下：4=（一1）（-2）.（一，+1）（m,nwN*,mn）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数
7、是-zn+l,共有切个因数；（2）全排列：当=小时即个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：A：=（一1）（一2）21=！（叫做n的阶乘）4.阶乘的概念：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，这时4：=5-1）（一2）321；把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘表示：加，即A；=!规定0!=l.5.排列数的另一个计算公式：4=（-1）5-2）（-加+1）n(nl)(n-2)-(n-m+1)(n-n)-321！，“n(-m)(-m-l).32l(一m)！即4(一机)!三、知识运用【例U计算：(1)；(3)解：(1)=161514=3360；(2)父=6!=720；(3)=
8、6543=360【例2】(1)若A：=17l6l554,则=,m=.(2)若M则(55-)(56-)(68-)(69-)用排列数符号表示为.解：=17,m=14.(2)若GN,则(55-)(56-)(68-)(69-)=侃.【例3】（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）=5x4=20；（2）耳=5x4x3x2xl=120；（3）l=14x13=182【例4】计算：8修父(/?-!)!
9、其-Mj Mim-联.解：原式=8765432165432187-109875765432 _ 513056 X (-89)623-原式（用一1）! （加一）！m-n)【例5】解方程：3Aj=2A*+6A解：由排列数公式得：3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-l),.3.3(X-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3/-17x+10=0，2解得x=5或x=-,Vx3,且XeN*，.原方程的解为x=53【例6】解不等式：6岗-2.解:原不等式即9!(9-工)!6-:(1 l-x)!化简得：x2-21x + 1()4O.也就是:(9-x)!(ll-x)(10-x)(9-x
10、)!解得X13,又2x9,且XWN.，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7.【例7】求证：(I)4=4A二：；(2)=135(21-l).证明：(1)47-Cm=7(一加)!=！=%,.原式成立(凡一切(2z)!2(2-l)(2-2).43212力！2一献2小(一1)21(2-1)(2-3)312F!=!13(2-3)(2,l1)=3.5(2-1)=右边打！.,.原式成立说明：(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数蹲中，m,neN且ZnV这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；(2)公式式=(-1)(-2)(一机+1)常用来求值，特别是，均为己知时，公式图=
11、常用来证明或化简。【例8】化简：(1)，+上+二+ . 2! 3! 4!也一1-H；(2)lxl!+2x2!+3x3!+x！1l111111解：原式=1!11-2!2!3!3!4!(-1)!(2)提示：由(+l)!=(+l)!=x!+!，得x!=(+l)!-!,原式=(也+1)!7.说明:一11=1！(n-l)!【例9】（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：父=
12、5x4x3=60,所以，共有60种不同的送法（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555=125.所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算【例10】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号
13、？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有4；种；第二类用2面旗表示的信号有用种;第三类用3面旗表示的信号有用种,由分类计数原理，所求的信号种数是：4+人+看=3+3x2+3x2xl=15,答：一共可以表示15种不同的信号例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上,即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方
14、案共有N=AA：=576（种）答：共有576种不同的分配方案【例11】用。到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用分步计数原理:百位 十位 个位解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0所求的三位数的个数是：4，大=9x9x8=648数有属的三位数有4个，个位数字是0的三位个，十位数字是O的二位数有%个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：反+/+6=648.解法3：从0到9这IO个数字中任取3个数字的排列数为小，其中以O为排头的排列数为&,因此符合条件的三位数的个数是-4=648-尺说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1,2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏【例12】
