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1、广东工业大学试卷参考答案及评分标准(A)课程名称：高等数学(1)考试时间：2018年1月19日(第20周星期五)一、填空题：(每小题4分，共20分)1.第二类2.2於；3.(xi,/(x1)0,(0)x2,/(x2)1、求极限Iimarctan x - xln(l + 4x3)4.e+c;(本题无C扣2分)5./-3j+2j=0;二、选择题：(每小题4分，共20分)12345BADCD三、计算题：(每题7分，共28分)f-1ai1arctanx-x1.i+2八解：原式=IImr=Ilm-X、5分34x012X=Iim2、解：对方程两边X求导得：3x2+3y,-3+3y,=0,(1)2分对(1)
2、两边的X再次求导得：6x+6y(y*)2+3ry,+3=O,4分当X=I时，代入原方程得y=l；将(1,1)代入(1),得V(D=O6分将y(l)=0代入(2)可得6x+(3V+3)y=O当X=I时，y=l时，代入可得y=7,7分3、设/(x)=1+/，当求IIIX,当X0Ixfxdx=J1-V二办;+JXl11Za解：1T1+x03分=二d(l+/)+，InXdX22j-l+x22。1.Ol91r八-ln(l+X2)I+xInx-Jxdx6分2120*=-(0-ln2)+-(0-x211)=-ln2-7分222O24注：本题中，fxlnxdx为瑕积分，不说明也算对，酌情评阅。Jo4、设/(x
3、)=/+加Cr在X=1处有极值-2,试求系数,b,并求出y=(x)的所有极值。解：由题意f(l)=-2,即1+。+=-2(1)2分f(x)=X3+ax2bx不存在不可导点，在X=1处有极值-2,KP/(1)=0,3+2+Z=0(2)由(1)(2)得到：a09b34分/(x)=X3-3x,f(x)=3x2-3=0,x1=l,x2=1X(,-1)-1(-1,D1(l,+)f()+一+fMt极大值I极小值t所以极大值/(-D=2,极小值/=-2四、(9分)设/(X)为连续函数，且满足方程/(X)=求/&).解：对方程f(x)=e*+x1(f)df-j(*(f)df两边X7分exxrf(t)dtJ：t
4、f(t)dt,求导：()=ex+f(t)dt+xf(x)-xf(x)(I)2分JU再对(1)的两边X求导：f(x)=ex+f(x)BPy-y=ex(2)4分(2)的特征方程：r21=0,得到a=1,2=-1所以对应齐次微分方程的通解：y=clex+c2ex6分设非齐次特解形式为y*=h/，代入(2),得到A=g;所以/(x)=qe*+c2ex+；xex8分根据题意：当X=Oj(O)=1；得g+Q=l；由式，x=0,/(0)=1；得乙副寺31解之cl=-；C2=-Q11所以/(x)=7-a-xev9分442五、(9分)证明：当x0时，2x-11n(l+x)221n(l+x)并由此说明(In2)2
5、+h4v2.证明：函数/(x)=2x-ln(l+x)221n(l+x),由于根据x0,In(l+x)vx,可知/(x)0,从而/(x)在(0,+8)内严格单调增加。6分即XO时，/(%)/(O)=O,/(x)=2x-fln(l+x)2-21n(l+x)0即2xln(l+x)221n(l+x)成立8分因此/(D/(O)=0,三(l)=2-fln2)2-ln4,所以(In2)2+ln4v2成立9分六、(7分)如下图，在(0,5)内求一点f,使阴影部分面积最小，并求出最小值。解：根据图示得到：S)=)(cosx-cost)dx+j2(cost-cosx)dx3分即S(Z)=2sin-2/cos/+c
6、os/14分2对上式两边f求导：S(f)=(2f-%)siW2令S(E)=O,在(0,5)内得：/=P5分(?)=后0该点为极小值点，也为最小值点。所以最小值S(一)=2sin-2-cos-+-cos-1=2-17分444424七、(7分)设/(X)在区间0上可微，且满足条件/Q)=2MYxMx,试证：存在4(0,D,使得/(4)+4f(4)=0证明：令尸(X)=MY%),由积分中值定理可知，存在e(O,g),使11I2V(x)dx2F(X)dx=-F().3分又由已知条件，有1)=2疗(X=2；尸(利02从而F(I)=/(D=F(),(0,-)5分且户(X)在小1上连续，在(%1)上可导，故由罗尔定理，存在4w(,D,使b(4)=0,即/（八）+。/。)=。.7分
