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1、期末分类汇编-立体几何1、东城(16)(本小题14分)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，BC=90o,AB=BC=BBI=2,尸分别为A6,6C的中点.(I)求证：族平面ACGA；(II)若点尸是棱B耳上一点，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为(，求线段族的长.6分(16)(共14分)解：(I)取AG中点G,连接尸GAG.在直三棱柱ABC-AMG中，因为其代G分别为A8,4G，AG的中点，所以A：AB,GFAiB,GF=；A1B,AE=gABi.所以GFAE,GF=AE.所以四边形EFGA为平行四边形，所以EFAG.又因为77CZ平面ACGA，AGU平面ACCIA，所以EF平面ACGA.(
2、II)在直三棱柱ABe-A与G中，平面ABC.而班U平面力8C,BCU平面A8C,所以BgJ.BA,BB11BC因为NABC=90。，BALBC,所以BABC,8隹两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系8-.则A(0,2,0),(0,0,0),C(2,0,0),E(0,1,0),F(l,0,2).设P(O,O,ni),w0,2,则AP=(OBE=(0,1,0),BF=(1,0,2).设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,Z),y = 0,x2z = 0.nBE=0,即nBF=0,设z=T,则=(2,0,T)设AP与平面BE尸所成的角为6,则sin=cos(Aw)=J涧=|I1APn5(-2)2
3、+m25解得苏=1,加=1.因为/n0,2,所以m=1.于是，BP = L14分2、西城18.(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ是菱形，PJ_平面48CQ,平面BAB_L平面Q4。，E为PA中点，PD=AD=2.(1)求证：平面1%。；(2)求直线OE与平面P8C所成角的大小;(3)求四面体PEBC的体积.【答案】(1)证明详见解析(2)30(3)-3【解析】【分析】(1)通过证明。E_LA仇尸。JLAB(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线OE与平面PBC所成角的大小.(3)先求得上到平面PBC的距离，进而求得四面体尸EBC的体积.【小问1详解】因为PQ=AD，
4、E是Q4的中点，所以应_124,由于平面P45_L平面PAo旦交线为PA,OEU平面R45,所以Z)El平面Q4B，由于Abu平面P45,所以。由于PZ)JL平面ABQ%ABU平面A3CQ,所以力_LA4，由于OEPD=JD,DE,PDu平面PAD，所以AB_Z平面PA。；【小问2详解】因为48_Z平面BAD，AB/CD,所以C_L平面94。,AO,BDu平面QAr),所以COJ_AO,CO_LpD,而P_L平面ABC。,AD,CDu平面ABCD，所以尸。_LAO,Poj.8,由此以。为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则。(0,0,0),A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,
5、0),尸(0,0,2),E(L(U),所以CB=(2,0,0),CP=(O,2,2),OE=(1,0,1),设平面PBC的法向量为机=(X乂z),mCB=2x=O则mCP=-2y+2z=O，故可设没=(Oj,1),设直线。石与平面尸BC所成角为,.mDE11则Sina=-iI=7产=二，DE&2由于090,所以=30,所以直线OE与平面PBC所成角的大小为30.【小问3详解】所以点E到平面PBC的距离d由于P_L平面ABQ% BCU平面A3CQ,所以由于 3C _L CD, PDCCD= D, PD,CDU平面 PCD,所以 BC 4平面 PCD,由于PCU平面PC。，所以PC,所以四面体 P
6、EBC的体积 V=gszscd = xgx2x2x, = 因为EP=(TO,1),3、海淀16.如图，在四棱柱ASC。ABG。中，侧面A884是正方形，平面A33A，平面ABCABCD,AD=DC=AB,M为线段AB的中点，AD1BiM.（1）求证：ClM/平面ADDM；（2）求直线Aa与平面M4C所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析叵9【解析】【分析】（1）连接AA,由四棱柱性质可得MAAG为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得GM/平面ADDIA；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得Ao,A8,AA三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详
7、解】连接AO,如下图所示：在四棱柱ABC。AMGA中，侧面SZ）C为平行四边形,所以GRCO,GD=CD,因为ABCD,CD=-AB,M为AB中点，2所以CAM,CD=AMt所以GAAM,C1D1=AM,所以四边形MARG为平行四边形，所以MGAQ,因为GMa平面ADDIA,所以GM/平面Az）AA，【小问2详解】在正方形ABqAl中，AAiIABt因为平面ABBlAl1平面ABCD,平面ABB】AIC平面ABCD=AB；所以AAJ,平面ABC。，而ADU平面ABC即可得AAlJ.AD,因为AoAA,BMu平面ABBIA,BlM与AA相交,所以AZ)J_平面ABqA,而ABU平面A88A,AD
8、-LAB,如图建立空间直角坐标系A-xyz.不妨设AZ)=1,则A(0,0,0),C1(1,2,1),4(0,2,2),/(0,0,1).所以AG=(1,2,1),C1B1=(-1,0,1),MG=(1,2,0).设平面B1Cl的法向量为n=(x,y,z),nCxBx=-x+z=0则，令=2,则y=-1,z=2，nMCl=X+2y=0于是=(2,T,2);AC1n6因为-府S=T所以直线AG与平面M4G所成角的正弦值为手.4、朝阳(17)(本小题14分)如图，在四棱锥2_他8中，A8OCNABC=90,45=2OC,侧面MC_L底面ABcD,E是Rl的中点.(I)求证：DE平面PBC；(II)
9、己知AB=8C=2,PB=PC,再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥尸-ABa)唯一确定，求二面角E-BQ-C的余弦值.条件：AP=2;条件：APLBC.i5条件：直线与平面所成角的正切值为5注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（I）取心的中点尸，连接CE因为E是EA的中点，所以MAB,AB=2EJe/If又因为ABHDC,AB=2DCfAB所以E产OC且所=DC.所以四边形COM为平行四边形.所以DE/CF.又因为OEa平面9C,bu平面心C,所以DE/平面PBC.5分（II）取6C的中点,连接尸。
10、.因为PB=PC,所以PO,5C.K又因为侧面/归0_1_底面ABCD1X且平面PBC）平面A88=BCyAB所以PoL平面AB8.如图，在平面A5S中，作。），班，则?OJ.8C,POLOyyOylBC建立空间直角坐标系-孙z.选条件：连接A。，在RtAMO中，因为Ae=2,BO=I,所以A0二百在Rt/40中，因为AP=2j,AO=小所以尸Q=JJ所以 ZZ.设平面日汨的法向量是雁=（X，y，z）,则13 DC1 X+ V HZ = O,m BE = O, 22tn BD = 0,即2x + y = 0.令“=1,则，-2, z = 3于是m=(1,2,3)因为P0_L平面ABCD,所以=
11、(0,0,1)是平面BDC的法向量.,、mn36cos(m,n)=所以I帆11I224当由题知，二面角E-BZ)-C为钝角，所以其余弦值为4.14分选条件：连接A,因为尸1平面所以N是直线AP与平面ABC。所成角.所以f=养考在RtA4BO中，因为43=2,130=所以AO=正AO=后心=叵MA在Rt丛O中，因为AO5,所以PO=TJ下同选条件14分5、丰台17.(本小题14分)如图，四棱锥尸-ABCD的底面为正方形，BA，底面ABa),AD=PA,点E为QA中点.(I)求证：40平面BCE；(II)点。为棱3C上一点，直线PQ与平面3CE所成角的正弦值为芈，求理的值.15BC因为BCU平面B
12、CE,ADa平面8CE,所以4。/平面BCE.4分(II)因为FAJ_底面ABe0,正方形ABe。中ABJ_AO,所以如图建立空间直角坐标系A-町z,则A(0,0,0).不妨设R4=2,因为AD=,点E为RA的中点，点。为棱BC上一点,所以8(2,0,0),C(2,2,0),E(0,0,l),P(0,0,2),(2,m,0)(OWmW2).所以8C=(0,2,0),BE=(-2,0,1),PQ=(2ym-2).设=(X,y,z)为平面BCE的法向量，则5C_L，IiELn.C所以nBETl=O-2x+z=0X=I令X=1,得y=0,所以=(1,0,2).z=2sin cos 25 IF设直线P
13、Q与平面BCE所成角为，则所以m2=1.因为0WmW2,所以m=l,所以版=.14分BC26、昌平16.如图，在四棱锥PA3C。中，PQ_L平面ABCQ,底面ABCQ是直角梯形，ADDC,ABZ)CAB=AO=2,OC=PD=4,点N是尸。的中点，直线PC交平面AeN于点M.(1)求证：点Af是PC的中点；(2)求二面角4MNP的大小.【答案】(1)证明见解析/、3兀(2)4【解析】【分析】(1)只需证明MNCD,而AB/CD,故只需AB/MN,所以只需证明AB/面尸CQ即可.(2)建立适当的空间直角坐标系，分别求出面4MN和面MVP的法向量，由法向量夹角余弦的绝对值公式，结合二面角是钝角即可
14、得解.【小问1详解】由题意A3/CD,CDU面PCD,A8(z平面尸CO,所以AB/面PC。，又直线PC交平面ABN于点M,即面ABMYC面PCO=MN,所以AB/MN,所以MN/CD,又因为点N是尸。的中点，所以点M是PC的中点.【小问2详解】因为_L平面ABCD，DA,DCU平面ABCD，所以_LDA,PO_LOC,又因为4。_LOC,所以。AQGOP两两垂直，所以以点D为原点,DADcoP所在直线分别为x,),z轴建立如图所示的空间直角坐标系:因为底面ABeD是直角梯形，ADlDC,AB。,48=4。=2,。=。=4,点是尸。的中点,点M是PC的中点.所以A(2,0,0),0(0,0,0),P(0,0,4),C(0,4,0),N(0,0,2),M(0,2,2),所以N=(0,2,0),=(2,0,-2),NP=(0,0,2)
