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1、第6章习题答案6.1 设x(f)为实函数，试证(1) XQ)为I的奇函数时，它的希尔伯特变换为t的偶函数(2) XQ)为I的偶函数时，它的希尔伯特变换为t的奇函数证明(1)：x(t)=-x(-t)(3) x(t)=x(-t)6.3设4(r)-8Y，Y8是具有频谱A(W)的实函数，假定3A时，A()=0,且满足/Aw,求(1)0()cOSWOf和g(r)exp(/f)的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系(2) tz(r)sinw0t和一:(f)exp(j%f)的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系(3) (r)cosw0r和sin吗/的傅立叶变换关系解：(1)=x(Z)=a(t)cosW0/且y(t)
2、=gatexp(Jw0r)(2)x()=()sinW0/且y(f)=-WaQ)exp(Wof)6.5对于窄带平稳随机过程，按6.4题所给条件，求证：EIX(r)y(r+r)=0证明：设Z(f)=X(f)cOSVVof+Y(f)sin吗/6.10X(f)为信号与窄带高斯噪声之和，Xa)=cos(MV+6)+N(),式中，。是(0,2%)上均匀分布的随机变量，N(t)为窄带平稳高斯过程，且均值为零，方差为并可表示为Na)=N,.(/)COSwOf-NVa)SinWOZ,求证：XQ)的包络平方的自相关函数为RX(T)=+422+44+4(2Rl(r)+限+R晨Xa)=cos(Wof+8)+NCa)C
3、Os%f-NsQ)Sinvv0r证明：=cosVVOfCOSe-sinvv0Zsin/Vt(r)cosw0r-2Vv(Z)sinw0t=cos8+N*f)cos/f-osie+N$(r)sinw0ta-Y(t)=X2=acOSe+Nc(t)2+sine+M(f)2包络的平方CCC=a2+2acos6IVc(0+2sin兆$+N2,+解,7.对于窄带平稳随机过程Z(f)=XQ)CoSGof-y(f)SinQ/。假设其均值为零，功率谱密度为其中，W,口与3。Ag都是正实常数。试求：1. ZQ)的平均功率；(5分)2. X(Z)的功率谱密度GX(G)；(5分)3. 互相关函数RXy(Z)；(5分)4
4、. XQ)和y(f)是否正交？(5分)解：由题意可知GZ (,RZ(O)=-L3),廿叱2Jx%_又Z的平均功率=RZ(O)ZQ)的平均功率为空孚(2)方法一、=I 12 万 Je%l冗冗cos(+)(-0)+cos()(-0)dfiJcos4+cosBgWg,其中A=-+7，B=-2万以%由傅氏变换的对称特性：F(j)2f(-),可得,方法二、利用性质GX(G)=ZGz(g-()+GZ(G+g)可得(3) 方法一、由窄带平稳随机过程的性质可知-lsin3-口。)脸+)-Sin-.-)d其中A = 2 + r,B = -W产=JjsinA-sinBcodi方法二、利用性质Gxy(=/LpGz3
5、+g)-Gz3+g)可得(4) VRxy(T)=O.x(f)和y(f)处处正交。对于窄带平稳随机过程Za)=X(f)cosg/-y(f)sing/。假设ZH)的自相关函数为D/、Z七,工P/D/、工/Z(f)=XQ)CoSg，一丫。)SingrRZ(C)=()cosg,求证：RXO)=Ry(汇)=4(r)。证：v4.,Z(r)=X(z)s11ft70z+r(r)cos690z故有又因为任一实平稳随机过程Z与其希尔伯特变换Z(r)满足：R2()=Rz()fRzi()=Rz()fRiz()=-Rz().故，由RZa)=(r)c0s4r，可得&(7)=(r)si116r,代入上式得：RX(r)=a()cos20+(r)sin2=a)；同理可证=Rz()cos6r+Rz()sin0=Rx(r)=a()6.8,6.9见讲义。
