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1、有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计 但是，在前面的讨论中我们都是基于一个但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所有被考虑的对试验结果有假设展开的，即在所有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试验设计过程中考虑各因素的相现，因此正交试验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得十分必要，首先让我们来看个有互作用将显得十分必要，首先让我们来看个有关交互作用的例子：关交互作用的例子：交互作用交互作用 因素间的联合搭配对试验指
2、标产生的影因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为响作用称为交互作用，交互作用，通常将通常将A因素与因素与B因素的交互作用记作：因素的交互作用记作： AB，称为，称为1级级交互，通常的称在一次试验中同时与交互，通常的称在一次试验中同时与A因素发生交互作用的因素的个数为因素发生交互作用的因素的个数为交互交互级数级数。交互作用交互作用 样本中能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的多少。自由度自由度通俗点说，一个班上有通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为个人，我们知道他们
3、语文成绩平均分为80，现在只需要知道，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。2、关于自由度和正交表的选用原则、关于自由度和正交表的选用原则 选正交表必须遵循的原则：选正交表必须遵循的原则：正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所要考察的因素及交互作用的自由度
4、综合必须不大于所选用正交表的总自由度选用正交表的总自由度 dfT fA+fB+fC+ fAxB+ fBxC +fAxC+ 自由度的两条规定：自由度的两条规定：（1）正交表的总自由度）正交表的总自由度f总总 试验次数试验次数1；正交表每；正交表每列的自由度列的自由度f列列此列水平数此列水平数1（2）因素）因素A的自由度的自由度fA 因素因素A的水平数的水平数1； 因素因素A、B间交互作用的自由度间交互作用的自由度fAxB fAfB如三因素四水平如三因素四水平 4 43 3 的正交试验应安排的正交试验应安排 3(4-1)+1=103(4-1)+1=10次以上的试验次以上的试验.如三因素四水平如三因
5、素四水平 4 43 3 并包括第一、二个因素的交互并包括第一、二个因素的交互作用的正交试验至少应安排的试验次数为作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.又如安排又如安排4 43 32 23 3的混合水平的正交试验至少应安排的混合水平的正交试验至少应安排3(4-1)+3(2-1)+1=133(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验次以上的试验.若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应安排的试验次数为试验则至少应安排的试验次数为3(4-1)+3(2-
6、1)+(4-1)(2-1)+1=163(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.交互作用的处理原则交互作用的处理原则 试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在： 用于考察交互
7、作用的列不影响试验方案及其实施；用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（有（m-1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平素的水平m有关，与交互作用级数有关，与交互作用级数p有关。有关。 综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：一般原则是： 忽略高级交互作用忽略高级交互作用 有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些有选择
8、地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。 试验允许的条件下，试验因素尽量取试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。水平。有交互作用的试验表头设计有交互作用的试验表头设计交互作用表交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表 L8（27）所）所对应的交互作用表。对应的交互作用表。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列号（列号（ ）列号列号例例如如，从从左左向向右右看看，第第3列列与与第第5列列的的交交互互作
9、作用用在在第第6列列例如，第例如，第4列与第列与第7列列的交互作用在第的交互作用在第3列列第第5列与第列与第6列的列的交互作用在第交互作用在第3列列正交表自由度的确定：正交表自由度的确定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平数水平数1（2）两因素交互作用的自由度）两因素交互作用的自由度 fABfAfB （两因素自由度的乘积）（两因素自由度的乘积）对对2因素因素2水平的正交表，因为：水平的正交表，因为：fAfB 21，每列只有一个自由度；而每列只有一个自由度；而fABfAfB 111，所以也占一列。所以也占一列。 对于对于2 因素因素3水平，水平， fAfB 312，每列有，每列有2个自
10、由度；而个自由度；而fABfAfB 224，由于交，由于交互作用列有互作用列有4个自由度，而每列是个自由度，而每列是2个自由度，因此个自由度，因此2个个 3 水 平 因 素 的 交 互 作 用 列 占水 平 因 素 的 交 互 作 用 列 占 2 列 。列 。 对于对于2因素因素n水平，水平， fAfB n1，每列有，每列有n个自个自由度；由度；而两因素交互作用的自由度为：而两因素交互作用的自由度为：fABfAfB （n1）（）（n1），所以交互作用列要占（），所以交互作用列要占（n1）列。）列。 表头设计 如果将A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列
11、是第3列 ，于是将 A与B 的交互作用 AB放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列， 查表 可知，BC应放在第6列，余下列为空列 ，如此可得表头设计。 列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平， 得出试验方案列于表。 结果分析 按表所列的试验方案进行试验，其结果分析与前面并无本质区别，只是：应把互作当成因素处理进行分析； 应根据互作效应，选择优化组合。 5.3.2 5.3.2 数据的方差分析数据的方差分析统计模型 5.3.3 5.3.3 避免混杂现象避免混杂现象正交表的表头设计实例正交表的表头设计实例 所
12、谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。在正交表中该放在哪一列的问题。1 1有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。例例1 1 乙酰胺苯磺化反应试验乙酰胺苯磺化反应试验试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率因素和水平：有四个二水平的因素（见表因素和水平：有四个二水平的因素（见表1 1）表表1 例例1 因素和水平表因素和水平表因素因素反应温度反应温度反应时间反应时间h硫酸浓度硫酸浓度%操作方操作方法法符号符号ABCD水平水平1A1=
13、50B1=1C1=17D1=搅拌搅拌2A2=70B2=2C2=27D2=不搅不搅拌拌 考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号A AB B和和A AC C表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。 因为因为4 4个因素均为个因素均为2 2水平，水平，2 2个交互作用需占个交互作用需占2 2列，为方差分列，为方差分析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表
14、L L8 8（2 27 7） 此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。方法之一方法之一：使用附录：使用附录8 8正交表正交表L L8 8（2 27 7）后面的）后面的“L L8 8（2 27 7）二列间）二列间交互作用表交互作用表”( (见表见表4-7)4-7)。表表2 L8(2 7 ) 二列间交互作用表二列间交互作用表列号1234567(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1)3(2)21(3)567(4)4761(5)74523(6)654321(7)因为考虑的交互作用是因为考虑的交互作用是A AB B和和A AC C，
15、所以宜先考虑，所以宜先考虑A A、B B、C C及及其交互作用的安排，暂不考虑其交互作用的安排，暂不考虑D D的安排。的安排。 表表3 3是本例题表头设计的结果。是本例题表头设计的结果。其中其中方案方案1 1的思路为：先将因素的思路为：先将因素A A、B B分别放在第分别放在第1 1、2 2列。第列。第1 1列和第列和第2 2列的交互作用列的交互作用A AB B该放在哪一列？在表该放在哪一列？在表2 2所示的所示的L L8 8（2 27 7）二）二列间交互作用表中，从最左边的列号列间交互作用表中，从最左边的列号“（1 1）”向右画水平线，从向右画水平线，从最上面的列号最上面的列号“2 2”向下
16、画垂直线，所画两直线交点处的向下画垂直线，所画两直线交点处的“3 3”就是就是交互作用交互作用A AB B的列号。将因素的列号。将因素C C放在第放在第4 4列。第列。第1 1列和第列和第4 4列列的交互作用的交互作用A AC C该放在哪一列？由该放在哪一列？由L L8 8(2(27 7）二列间交互作用表知，）二列间交互作用表知，A AC C应放在第应放在第5 5列。因素列。因素D D该放在哪一列？因为无与该放在哪一列？因为无与D D有关的交有关的交互作用，故放在第互作用，故放在第6 6或第或第7 7列均可。列均可。方案方案2 2的思路为：将的思路为：将A A、B B分别放在第分别放在第7 7、6 6列。由列。由L L8 8（2 27 7）二列间交互作用表知第二列间交互作用表知第6 6、7 7的交互作用的交互作用A AB B应放在第应放在第1 1列。将列。将C C放在第放在第5 5列。将第列。将第5 5、7 7列的交互作用列的交互作用A AC C放在第放在第2 2列。将列。将D D放在第放在第4 4列或第列或第3 3列均可。列均可。 表表4 4 例例1 1 的表头设计结果的表头设计结果
