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1、AL+ Sc 2222023-2024学年人教B版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元测试卷学校：姓名：班级：考号：一、选择题21、如图,空间四边形。48C中,04=,08=6,OC=c,点M在。4上,且。M=IoA,点N为BC中点,则MN等于（）b.3+L+L32222,1C.a+-bc332221D.一。+一8c332为BC中点,则MN =（）2、如图,空间四边形OABC中,%=。，08=b，OC=2,点M在OA上,且OM=2M4,点NR21,1-3222-1D-a+bc323、已知四面体ABCo的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上，445C为等边三角形，AB=BD=2,
2、AD=且ACJ.80,则二面角ACDO的正切值为（）A亚3b66C至3D.叵64、如图,矩形ABCD中,AB=IAD=22,E为边48的中点,将AADE沿直线DE翻折成4。石.在翻折过程中,直线AiC与平面ABCD所成角的正弦值最大为()10-2r6r5-ln5A.o.C.U.46455、在三棱锥尸ABC中，CP,CA,CB两两互相垂直，AC=CB=I,PC=2,建立如图所示的空间直角坐标系，则平面Q钻的法向量可以是()B.(1,2,l)C. (1,1,1)D. (2,-2,1)6、正四面体ABcD的棱长为2,动点P在以BC为直径的球面上，则4P4D的最大值为()A.2B.23C.4D.437
3、、如图，在三棱柱48C-OE产中，G为棱Ao的中点，若BA=a,BC=b,BD=c,则CG=()K.-a+b-cB.-a+b+c2Cl1,C.a+-b+c22n1Llu.-a-b+-c228、在正四面体ABCO中，E,尸分别是AC,Ao的中点，则BC与E/的夹角为（）A.30oB.60oC.120oD.150o9、已知i,j,左是两两垂直的单位向量，若a=2i-j+k,b=i+2j-3k,则q5等于（）A.1B.2C.3D.-310、如图,在三棱柱ABC-A1BC中,EF分别是BCCG的中点,G为AABC的重心,则GF=（）By/Ayb一cB121B. AB H AC HAA.332”12ID
4、.-AB AC + -AA.332”121A.ABHAC4AA.3322 11C.AB+-ACAA3 32二、填空题11、已知直线/经过点A(-1,0且其一个方向向量为=(1,2,则直线/的方程为12、如图，在三棱柱A3C44G中，AClCG，AClBC,AC=BC=I,ZC1CB=60o,CC=3,点。，七分别在棱AA,CG上，且AD=LCE=2,则二面角的正切值为.13、如图，在正方体48CD-A8GR中，。是AC的中点，点P在线段AG上，若直线。尸与平面AIBG所成的角为，则COSe的取值范围是.14、如图,在四棱锥P-ABC。中,四边形ABCD是矩形,以上平面ABCD=ab=2,4)=
5、6,点。是侧棱P。的中点,点MN分别在边A8/C上,当空间四边形PMND的周长最小时,点。到平面PMN的距离为.t5NC15、在空间四边形ABC。中，若ABCZ)是正三角形，且E为其中心，则AB+-BC-DE-AD=.2216、已知点A(-l,l,-l),平面。经过原点。,且垂直于向量则点A到平面a的距离为.三、解答题17、如图所示，在三棱锥S-ABC中，。为BC的中点，SoJ平面ABC,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，ZBAC=90%求平面&1C与平面SBC夹角的余弦值.18、如图，四棱柱ABC。AMGA中，侧棱AAL底面4BCQ,ABMDC,ABAD,AD=CD=X9AD=CD=I,
6、E为棱AA的中点.(1)证明4G_LCE；(2)求二面角与-CE-G的正弦值.(3)设点M在线段GE上，且直线AM与平面AORA所成角的正弦值为玄，求线6段AM的长.19、如图,在直三棱柱ABC-AqG中,AC=，ABJBeEF分别为BBl,CA1的中点,且EF_L平面AAGC(1)求AB的长；(2)若AAI=应,求二面角C-AE-A的余弦值.20、如图，在棱长为1的正方体48CD-4BeA中，E,尸分别为。/兀8。的中点,点G在CQ上，且CG=LCO.(1)求证：EF1B1C；(2)求E尸与GG所成角的余弦值.参考答案1、答案：BO011角军析：由题意可得,MN=ON-OM=-(B+OC)O
7、A=一一a+-b+-c.2173322故选：B.2、答案：B解析：因为。M=2MA,点N为3C中点，所以MA=JQA,8N=LbC,32故MN=MA+AB+bN=LoA+ob-oA+bc321.1(C6Cd2,1(.21,1=a+bci+IOCOB)=ci+bAchaHb4c32、732、)322故选：B.3、答案：A解析：取AC的中点E,连接8石，。石，.A5C为等边三角形，.BEJLAC,AClBD,BEBD=B,；.AC上平面3DE,又DEu平面50。/.AClDE,由题意得，BE=6,AE=DE=CE=I,又BD=Z,DE?+BE?=Bb1,:.BELDEf又A。BE=E,ACfBEu
8、平面A8C,.应_1平面ABC,又OEu平面ACD,.平面ACDJ_平面ABC,易知DC=垃,则。C2+a02=ac2,故DC为等腰直角三角形，综上，四面体ABCD的球心。为AABC的中心，即点。是上靠近E的三等分点.以E为原点，ED,EC,E8所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面OCo的一个法向量为2 = (x,y,z),mCQ = 0,即 m OD = 0,x-y = 0,*z = 0,令X=1,则y=l,z=3,/.m=(1,1,5/3),又平面ACD的一个法向量=(0,0,1),.二面角4-8-0的余弦值为I cos(n, I=mn_/3_15mn55二面
9、角A-CD-O的正弦值为故二面角A-CD-O的正切值为WL56J.5.53.4、答案：A解析：分别取OEOC的中点0,F,则点A的轨迹是以A/为直径的圆,以OAQE为x,y轴,过。与平面AoE垂直的直线为Z轴建立坐标系，则C(-2,1,0),平面ABCD的其中一个法向量为 =(0,0.1),由 Ao = I ,设 A (COSa,0,Sina),则 CAi =(COSa+ 2,-1,Sina),记直线AC与平面ABCD所成角为sin = W J = JSiMCA1 n 4cosa + 6l-cos2a 4cosa + 63 设，=cos + 214 Mn10-2 4所以直线A1C与平面ABCD
10、所成角的正弦值最大为 Mg故选：A.5、答案：A解析：由题意，得 A(1,0,0), 8(0J0), P(0,0,2),贝J AB = (T,1,O), AP = (T,0,2),设平面PAB的一个法向量是n = (x, X z),1.l l n AB = Oinrt f-x+y = O,则即17 令X = 1,n-AP = O, -x+2z = 0,y=fZ=-f所以=1,1,故选A.2I2J6、答案：C解析：如图，设BC的中点为M,连接ME,以M为原点，建立空间直角坐标系M-xyz，过A作AN，平面BC。于点M则N在线段Mo上，且N为线段上靠近M的三等分点，易得ND=:.AN=yAD2-N
11、D2=,33则A曰华，,A。=(。，竿，一半，设产(KNZ),则PM=友广域z+2,33P在以M为球心，1为半径的球面上，.,.X2+y2+z2=1,.0y2+z21,人2326C令yz+2=mt33则直线手y_乎Z+2-m=O与单位圆V+z2=相切时，截距取得最值,令IIl：=1,解得机=O或m=4,fffl.ARAO的最大值为4.7、答案：D解析：CG=CA+AG=CA+-AD=(BA-BC)+-(BD-BA)=(a-b)+-(c-a)=-a-b+-c.222228、答案：C解析：由题意，得EF=LCD,所以2(BC,EF)=(BC,Cm=180o-(CB,CD)=180o-60=120.
12、9、答案：D解析：因为i,j,4是两两垂直的单位向量，所以ij=ik=jk=O,2=j2=k2=11所以4b=(2，/+幻+2/_3无)=2产2产_3欠2=_3.10、答案：A解析:由题意可得:GF=GE+EF=gx；（A3+AC）+；（8C+B4）=ab+ac+（ac-ab+bb1）=-AB+-AC+-BBi3321=-AB+-AC+-AAx.3321故选:A.11、答案：2x-y+2=0解析：因为直线/的一个方向向量为“=(1,2则直线的斜率4=2,又直线过点A(T,0),故所求直线方程为y=2(x+l),即2x-y+2=0.故答案为：2x-y+2=0.2J2i12、答案：一3解析：因为A
13、C_LBC,AClCC1,BCflCC1=C,且SC,CGU平面3CG4，所以AC_L平面8CCM，所以向量Aw为平面BCCM的一个法向量，分别以C4，CB所在直线为X轴，y轴，垂直于平面ABC且过点。的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,GX(7 3冉,E(0,l,3), B1 0,不浮2 2ED =9 1 322,EB 二AC = (-2,0,0),设平面与七。的一个法向量为加= (,y,z),贝Jj7n 016 cm ED = 2x yz = 0,22m EB. = y + z = 0,1 22令z = 5 ,贝IJX = 3 , y = -不，所以“=(币,-币,5).设二面角8避-。的大小为 ,易知。为锐角，所以8 Se=I 8sac,m=生匈=再=叵, IACllml 43?31因此Sin =22731则A(2,0,(),C(),(),0),8(0,2,0),。2；灯山Sine2扃所以Ian。=COSe313、答案:解析：以。为坐标原点，DAtDC,OA所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Zk设正方体/WCO-ABGA的校长为2,则O(LLO),A(
