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1、第28讲函数与方程7大题型总结【考点分析】考点一：函数的零点的概念函数零点的定义对于函数y=(x)(xw。)，我们把使/(x)=0的实数X叫做函数歹=(x)(xe。)的零点.零点存在性定理：一般地，如果函数y=()在区间。，句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/()3)0,那么函数y=/(X)在区间(。，6)内有零点，即存在c(,b),使得/(C)=O,这个C也就是/(X)=O的根.注意:连续不断的函数/O)在闭区间。，村上有零点，不一定能推出/()S)0考点二，二分法的概念对于在区间。，6上连续不断且)(6)0的函数y=(x),通过不断把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端
2、点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.对于给定精确度,利用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤如下：确定区间口，句,验证/()S)O,给定精确度;求区间(。，6)的中点c；计算/(c)；/(c)=0,则C就是函数的零点；f(a)f(c)Of则令b=c(此时零点x0e(a,c);f(b)f(c)0,则令。=c(此时零点(c,b).判断是否达到精确度6,即:若卜-耳,则得到零点近似值(或6);否则重复.【题型目录】题型一：求函数的零点题型二：函数的零点区间题型三：判断函数的零点个数题型四：根据函数零点的存在情况求参数题型五：二分法的应用题型六：函数等高问题题型七：函数零点和问题【典型
3、例题】题型一，求函数的零点【例1】函数/(x)=37的零点为()A.(0,0)B.(1,1)C.0D.1【答案】C【分析】利用零点的定义求解.【详解】令/(x)=30A.0B.1C.2D.3【答案】A【分析】分x0和x0两种情况，直接解方程即可.【详解】当x0时，由31=0解得X=0：当x0时，令L=O,显然无实数解.X综上，函数/(X)的零点为0.故选：A2 .若不等式d_x_co的解集为H-3xo的解集为卜卜3xv2,所以方程&r-c=0的两根分别为-3和2,且”0,-3+2=-G=T则,解得(3)x2=，a故函数y+-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),则与X轴的交点坐标为(3,
4、0)和(-2,0),所以零点为-2和3.故选：D.题型二：函数的零点区间例1函数/(x)=l11x+x-8的零点所在的区间为()A.(4,5)B.(5,6)C.(6,7)D.(7,8)【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数V=Mxj=X-8在(O,+。)上都是增函数，所以/(x)在(0,+。)匕单调递增，因为/(6)=In6-20,所以/(x)的零点所在的区间为(6,7).故选：C.【例2】已知函数/(X)=：-/,则函数/()的零点所在区间为()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【分析】可直接求的对应方程的根
5、，即可.【详解】由3-/=0,解得,因为158,Xx-0所以15：2,则函数的零点所在区间为(1,2).故选：C【例3】函数/(x)=2-2-的一个零点在区间(1,3)内，则实数。的取值范围是()XA.(7,+oo)B.(0,1)C.(-,-l)U(7,+)D.(-1,7)【答案】D3【解析】因为y=2和y=-在(O,+W上是增函数，X所以f(x)=2*-2-在(O,+8)上是增函数，X所以只需/(3)Vo即可，即(T)(7-)0,解得-17.故选：D.【题型专练】1 .函数/(x)=81180的零点位于区间()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【分析】根据函数
6、的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可.【详解】因为函数V=811nx与丁=一(；80在(0,+8)上均为增函数，所以/(x)在(0,+8)上为增函数.因为/(2)=811n2-83O,所以函数/(x)的零点位于区间(2,3)内.故选：B2 .函数)=+x-20的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案.【详解】y=(x)的图象是条连续不断的曲线，则/(X)在R上递增，而/(0)=-20,/=-18,/(2)=-10,/(3)=10,/(4)=48,可得/(2)(3)0,满
7、足零点存在性定理，故零点所在的区间是(2,3).故选：C.题型三：判断函数的零点个数【例1】已知函数f(x)=l,故61冉1，画出/(%)的大致图象，由图象可知=/与y=()共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.【例2】函数/(x)=!-lg”的零点个数为()eA.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】函数/()=ig,由/()=o,可得-V=IlgM，作出P=A和y=ig的图象，eee由图象可得它们有2个交点，则/(x)的零点个数为2,故选：C.【例3】定义域和值域均为HMd的函数y=(%)和y=g()的图象如图所示，其中4bcO,给出下列四个结论正确结论的是()A.方程/g(x)=
8、0有且仅有三个解B.方程g(x)=0有且仅有三个解C.方程/(x)=0有且仅有九个解D.方程gg(x)=O有且仅有一个解【答案】AD【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.【详解】由6c0可得一4-bCC0,对于A,/g(x)=0,结合y=()图象可得g()=,g()=o或g()=6,结合y=g()的图象可得，g()=q,g()=o,g()=6各有一个解，即方程fg()=o有且仅有三个解，A正确；X寸于B,g()=0,结合y=g()图象可得/()=6,结合y=()的图象可得，/(%)=b有一个解，即方程g(x)=0有且仅有一个解，B错误；对于C,/(x)=0,结合尸/(x)图象可得/(
9、x)=-6,/(x)=0或/(x)=b,又/(力=0有3个解，f()=-b,/(x)=b各有一个解，即方程/(x)=0有且仅有五个解，C错误；对于D,gg(x)=O,结合y=g(x)图象可得g(x)=b,又g(x)=b有一个解,即方程gg(x)=O有且仅有一个解，D正确.故选：AD.【题型专练】1 .函数/(x)=+g的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】根据零点的定义求解.【详解】函数/(X)=，+的定义域为xx0,X令/a)=/+：=。，即F=T,解得尸1,所以函数/(X)=，+的零点个数是1个，X故选:B.2 .函数/(x)=2vlog0.5x|l的零点个数为（八）I
10、(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】令/(X)=O可得2jOgOSXI-I=O,即1H=()，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：,由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B3 .已知/(X)=H：2二3则方程/()=+l-4的实数解个数为()I-Inx,0x2A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】1ix4()时，解方程求出实根，当0x2时，分析函数取值情况判断根的个数即得.【详解】当XMo时，由/(x)=x+l-4,得(x+l)2-4=x+l-4,贝Jx+l=O或x+l=l,解得x=-2或X=-I或X=0,即当x0时，方程/(x)=k+l-4有3个实根，当0xK
11、2时，方程/(x)=x+l-4化为x+lnx-4=0,令g(x)=x+lnx-4,0x2,函数g(x)在(0,2上单调递增,于是g(x)g(2)=ln2-2卜-2|恰好有4个整数解，则实数女的范围为()21(23132(21-I5(55J(53j(3J【答案】C【分析】数形结合可知0%l,进而可得4个整数解分别为2,3,4,5,所以X=三(5,6,即可解1k得”的取值范围.函数N=H与y=|x-2|的图像如图所示，可知当A-时，两函数的图像有1个交点，不等式有无数个整数解,当-1攵0,两函数的图像无交点，不等式无整数解，当左=0时，两函数的图像有1个交点，不等式无整数解，当攵1时，两函数的图像
12、有1个交点，不等式有无数个整数解，所以0女1,所以不等式的4个整数解分别为2,3,4,5,F=，解得=e(5,6,y=x-2-kJ32解得*?故选：C.一2一2XVo【例2】已知函数/(x)=Il,若函数g(x)=32(x)-(m+3)(x)+机有5个不同的零点，则IIn，I,XU,实数加的取值范围是()A.(-,-2)B.(-oo,-6)C.6U(-g,-6)D.(-,-6)u(6,+)【答案】B【分析】根据解析式画出/()草图，将问题化为y=()的图象与直线y=,y=/共有5个交点，数形结合有y=()的图象与直线V=T有1个交点，即可求参数范围.【详解】作出函数/()的图象如图所示，函数g(x)=3/2(x)_(?+3)/(x)
